ロマンティック数学ナイト

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【ロマ数トレラン】線形代数~入門からジョルダン標準形まで~

11時開演

【ロマ数トレラン】線形代数~入門からジョルダン標準形まで~

オンライン(zoom)

10:50

11:00

・ガイダンス回 無料
・本セミナー 65,500円
※早期割引あり

山本拓人

※本セミナーは終了しましたが、数学教室和(なごみ)での個別授業で受講可能です。以下のリンクからお問い合わせください。
⇒数学教室和(なごみ) お問い合わせフォーム

∞セミナーの概略∞

線形代数学は純粋数学はもちろんのこと,最近は統計学や機械学習といった「実用的な数学」にも基本的な道具として広く用いられています.このように,現代数学の多くが線形代数学の理論を基盤として成り立っています.このセミナーでは線形代数学を基礎からJordan 標準形までまっすぐ理解することを目指します.

1.1 行列と数ベクトル

中学で学ぶように,実数\(a\)に対して\(y = ax\)が成り立つとき,\(y\)は\(x\)に比例するといい,\(a\)を比例係数といいます.この比例を拡張することを考えます.

たとえば,2 つの等式
\[
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
y_1 = x_1 + 2x_2 + 3x_3 & \\
y_2 = 4x_1 + 5x_2 + 6x_3 &
\end{cases}
\end{eqnarray}
\]
を考えましょう.比例の世界では\(x\)と\(y\)が1個ずつでしたが,この2つの等式は\(x_1\),\(x_2\),\(x_3\)に値を代入すれば\(y_1\),\(y_2\)の値が分かるというものになっていますね.

線形代数の世界では,これら2 つの等式を併せて
\[
\left[
\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2
\end{array}
\right]=
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}
\right]
\]
のように表します.このとき
\[
{\boldsymbol y}:=\left[
\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2
\end{array}
\right],\qquad
A:=
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{array}
\right],\qquad
{\boldsymbol x}:=
\left[
\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}
\right]
\]
とおくと,与えられた2つの等式は\({\boldsymbol y} = A{\boldsymbol x}\)と表すことができ,あたかも\(A\)を「比例定数」とし\({\boldsymbol y}\)は\({\boldsymbol x}\)に「比例」していると思うことができます.

\(A\)のように数を長方形に並べたものを行列といい,\({\boldsymbol x}\),\({\boldsymbol y}\)のように数を並べたものを数ベクトルといいます.線形代数学では行列と数ベクトルを基本的な道具とします.そのため,端的に言えば線形代数学は多変数の比例ということができます.

1.2 正方行列の対角化とJordan 標準形

いまみた等式\({\boldsymbol y} = A{\boldsymbol x}\)は行列\(A\)をベクトル\({\boldsymbol x}\)に左からかけると別のベクトル\({\boldsymbol y}\)になる,ということを意味します.このように,行列をかけるというのはベクトルを変換するということでもあり,行列を繰り返しかけて何回もベクトルを変換したいことはよくあります.

縦と横の成分が等しい行列を正方行列といい,正方行列は自分自身との積を考えることができます.つまり,正方行列\(A\)に対して,
\[
A^2,\qquad A^3,\qquad A^4,\ldots
\]
と考えていくことができます.一般に\(A^n\)のことを\(A\)の冪(べき) といいます.実は\(A\)の冪を愚直に計算していくとどんどん行列が煩雑になり,一般には計算がとても大変になります.

そこでうまく\(A\)の冪が計算できる上手い方法が欲しいわけですが,その上手い方法として対角化があります.対角化とは
\[
P^{-1}AP=\left[
\begin{array}{cccc}
\lambda_1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & \lambda_n
\end{array}
\right]
\]
となる正方行列\(P\)をうまくとってくることをいいます.

この右辺のように,左上から右下の対角成分以外の成分が\(0\)の行列は対角行列とよばれ,対角行列は冪がとても計算しやすいのです.そのため,対角化を利用することで一般に計算が大変だった正方行列の冪は比較的簡単に計算できるようになります.

ただし,対角化には1つ問題があります.さきほど「正方行列\(P\)をうまくとってくる」と書きましたが,どうしても対角化できるような\(P\)がとれないこともあります.

そのような場合,我々は対角行列よりも少し緩くしてジョルダン標準形にすることを目指します.

実は成分が複素数の正方行列\(A\)に対しては,\(P^{-1}AP\)がジョルダン標準形となるような\(P\)は必ず存在することが分かっています.

\(A\)が対角化できる場合ほど単純ではありませんが,それでもジョルダン標準形の冪は愚直に\(A\)の冪を計算するよ
りも圧倒的に簡単に計算することができます.

1.3 本セミナーの目標

線形代数学の知識がゼロの状態から一つずつ積み上げて,ジョルダン標準形の考え方と理論を理解して,実際に
ジョルダン標準形を求められるようになることを目標とします.大まかな流れは

・行列と数ベクトル
・行列式
・固有値、固有ベクトルと対角化
・ジョルダン標準形

を予定しています.
また,他の線形代数学の重要な話題として

・線形空間と線形写像

があります.本セミナーは「ジョルダン標準形までまっすぐ辿り着こう」というコンセプトなので後回しにしていますが,時間が余ればここにも触れて線形代数学が広く応用される理由を説明します.

∞セミナーの形式∞

講師のオリジナルテキストをもとにセミナーを進めます.本セミナーは

・授業パート
・演習パート

の2パートに分けて進めます.

授業の最後にその回の内容についての宿題を出しますので,次回のセミナーまでにこなしてきてください.もちろん受講生LINE グループでわいわい相談しながら解いてくださって構いません.というより,むしろその方が力は付くと思います.

授業の最初に各自の解答を持ち寄り,考え方を共有していきます.その際,解けたにしても解けなかったにしても,「考えたこと」や「試してみたこと」などまで共有できるのが望ましいです.

数学は数式が先にあるのではありません.「やりたいこと」が先にあり,数式はそれを表現するためにあります.数学的な技術だけを追いすぎると「追えるけど,何でこれが思い付けるのか分からん」といったことになりがちです.

私のセミナーでは

・そこではどう考えたのか
・そこでは何をしたかったか

など,イメージを多く伝えられるような説明を心がけています.

∞受講対象∞

・線形代数学を理解したい方
・高校数学をある程度知っている方,もしくは勉強したことがある方(が好ましい)

本セミナーは「とりあえず線形代数学が使えればいい」という方には向いていません.「線形代数学を理解したい」という方向けの講座となっています.

∞セミナー講師∞

山本拓人(やまもとたくと)

yamamoto

・塾・予備校業界で約10 年の指導歴を持つ.受験指導に関しては,塾講師1 年目で府内トップ校への合格者を輩出させたり,個別指導2 年目で国公立大学医学部への合格者を輩出したり,家庭教師で偏差値を15 上げて有名私立中学に合格させるなど,講師を始めた頃から早くも指導力を発揮し始める.その後も指導力に磨きをかけ,予備校1 年目の生徒アンケートでベテランを凌ぐトップクラスの高評価を得て通常の8 倍の報酬アップを提示される.

・「大人のための数学教室和」の大阪校で講師を務め,体験授業を受講した方の90% 以上が入会している.個別授業では主に大学数学・統計学・統計検定対策を指導し,受講生のレベルに合わせた痒いところに手が届く説明には定評がある.集団授業では大阪校の「統計超入門セミナー」や全国オンラインセミナー「ロマ数トレラン」でも高い満足度を獲得しており,専門的な内容を分かりやすく伝える高い指導力をもつ.

・解説記事を執筆する数学ブロガーでもあり,大学受験ブログ・大学数学ブログの月刊閲覧数は7 万を超える.最近はYouTube に力を入れ始めている.

・大学院修士課程に飛び級で首席合格し,そのまま首席卒業するなど,数学に対する知識・理解も深い.専門は非線形偏微分方程式で,現在は京都大学内にある数理解析研究所(RIMS) にて博士後期課程として数学の研究を行っている.

・趣味はピアノ,スポーツ,甘いもの食べ歩き.犬猫派.

∞開催場所∞

オンライン(zoom)

※好きな場所でご受講できます。「zoom」を用いてオンラインでセミナーを行います。
※ブラウザが利用できるPCやタブレットなどの環境をご用意ください。
※iPad等タブレットの使用は一部機能が制限される場合がございます。パソコン端末でのご参加を推奨いたします。

∞開催日時∞

第0回2021年4月24日(土) 11時00分~12時30分(ガイダンス回・無料)
第1回 5月8日(土) 11時00分~13時30分
第2回 5月22日(土) 11時00分~13時30分
第3回 6月5日(土) 11時00分~13時30分
第4回 6月26日(土) 11時00分~13時30分 ※例外的に3週間後
第5回 7月10日(土) 11時00分~13時30分
第6回 7月24日(土) 11時00分~13時30分
第7回 8月7日(土) 11時00分~13時30分
第8回 8月21日(土) 11時00分~13時30分
第9回 9月4日(土) 11時00分~13時30分
第10回 9月18日(土) 11時00分~13時30分

※4月24日の第0回は5月8日開講の本セミナーのガイダンス回となります。
※第0回に参加しなくても第1回目以降は申し込むことは可能です。
※セミナー時間150分の内、30分は受講生からの質問、議論に充てられるように設計しています。
※各セミナーの録画をゼミ最終回の1か月後まで視聴できるようにしますので、欠席の回があっても問題ありません。

∞お持ち物∞

筆記用具(ペン、ノートなど)

∞料金とお申し込みに関して∞

・ガイダンス回(4月24日)  無料
⇒お申込み(googleフォーム)
・本セミナー(全10回) 65,500円(早期割引:62,500円)
⇒お申込み(googleフォーム)

※セミナーの性格上本セミナーの定員は8名とさせていただきます(先着順)。
※本セミナーお申し込みの方に振込先の口座をご連絡いたします。
※最小履行人数は4名となります。最小履行人数に満たない場合、非開催となり、料金は返金させていただきます。開催有無は第一回ゼミの7日前である4月17日に確定となります。
※早期割引はガイダンス回翌日までに全回お申し込みの方に適用いたします。

∞本セミナー受講希望者の方向けの注意事項∞

・通信トラブル等が発生した時に、講師、受講生で円滑に連絡を取り合えるようLINEグループを作成します。LINEグループへの参加は必須とさせていただきますので、予めご了承ください。
・オンラインセミナー受講の際に必要となるパソコン、タブレットまたはスマホ等の通信機器、およびWiFi等のインターネット接続サービスは受講生ご自身でご準備いただきます。
・各セミナーの録画動画を最終回の1か月後まで視聴できるようにしますので、出席できない回は動画での受講が可能です。
・欠席者には録画動画だけでなく、セミナーで使用する配布資料(pdfファイルやurl等)も出席者同様配布いたします。

∞ロマ数トレランとは∞

「時間はかかってもいいから数学の美しさを中身からしっかり理解したい!」
聞いているだけでわくわくする華やかなテーマが満載のロマンティック数学ゼミ。
その根底となる理論からしっかり学びたい。ロマ数トレランはそんな声から生まれました。

ロマ数トレランは、ロマン溢れる数学を語ることができる講師による、講義形式ではなく、双方向の対話に重きをおいた受講者参加型の少人数制ゼミです。
実際に手を動かしたり、しっかりと質問、議論をする時間を設けることで
内容を確実に理解することを目標とします。同じ気持ちをもった仲間と一緒に学んだ先には新しい数学の世界が待っています。

~トレランとは~
山を縦走する山岳レースを意味するトレイルランニングの略です。
急坂は大変な時はありますが、いったん頂上に上がれば壮大な風景を楽しむことができます。
数学も同じです!平坦な道も、下り坂も、そして時にはハードな時もありますが、頑張って登りきれば素晴らしい風景が広がっているのです!

※ロマ数トレランでは受講生の理解に合わせて講師が適切な速度になるよう誘導しますが、受講者の理解を優先するため、カリキュラムの進度は確約いたしかねますので、予めご了承ください。
※質問の内容がセミナーの趣旨とそれる場合や、セミナーの適切な進行の妨げになると講師が判断した場合には、解説はセミナー内ではなく別途個別指導をご受講いただくようご案内することがあります。
※ロマ数トレランにはビデオ視聴以外に欠席保証はございません。ビデオは出席の有無に関わらずご視聴いただけます。

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※無料ガイダンス回へのお申し込みはこちらから
ガイダンス回申込フォーム

∞企画運営∞

和から株式会社
渋谷(本社)・新橋・大阪にて社会人向けの数学個別指導教室「大人のための数学教室 和(なごみ)」や「大人のための統計教室和」を運営。数学が苦手な大人から 数学の業務・研究応用を 目的としているマーケター、経営者、大学教授まで月間400名を超える社会人に対して必要な数学や統計学の授業を日々提供している。企業におけるデータセンス研修やデータ分析研修も実施。
和から株式会社HPはこちら>>

∞お問い合わせ∞

和から株式会社  松中宏樹
MAIL:class@wakara.co.jp

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